Le formule di resistenza. Come progettare le condotte in pressione e a pelo libero.

01 giu, 2008

Le formule di resistenza. Come progettare le condotte in pressione e a pelo libero.

Posted by: Domenico Di Nardo In: Idraulica| Progettazione | Articolo letto 4.540 volte/a

Introduzione. Come visto nell’articolo precedente, per dimensionare la condotta di adduzione, ci serviamo delle formule di resistenza, in questo breve articolo faremo una anlisi veloce di alcune tra le più utilizzare facendo una distinzione tra il caso in sui si utilizzano condotte a pelo libero ed il caso delle condotte in pressione.

Condotte a pelo libero. Per poter utilizzare le formule di resistenza, è necessario ipotizzare che il moto all’interno della condotta sia uniforme. Fatta questa ipotesi si possono utilizzare le seguenti formule, che prendono il nome dal ricercatore che per primo le ha definite:

Chézy: questa formula, nata dall’ingegno del francese Antoine de Chézy, è frutto di un’intenso lavoro sperimentale. Nel 1768, Chézy abbe il compito, insieme a Perronet, altro illustre studioso di idraulica, di migliorare il sistema di approviggionamento idrico di Parigi. In pratica, i nostri due amici, dovevano aumentare la portata in servizio alla capitale francese, utilizzando l’acqua del fiume Yvette. Il problema non era di poco conto, si doveva progettare un canale che doveva trasportare una enorme quantità di acqua. Come fare visto che in letteratura non vi era nessun elemento da utilizzare? L’ingegno di Chézy fu tale che decise di costruire un modellino del futuro canale e dalle considerazioni sperimentali che fece ne ricavò che:

una formula che vuole determinare la portata di un canale deve contenere la velocità della corrente, l’inclinazione del canale, l’area della sezione bagnata, il perimetro bagnato. In sostanza, la formula di Chézy è la seguente:

(1) ;

Inoltre, trovò anche la famosa relazione che lega la portata alla velocità ed alla sezione bagnata:

(2) ;

Nelle due equazioni si ha che:

: Coefficiente di resistenza;
: pendenza del canale;
: area bagnata;
: Raggio idraulico;

Come si nota dalla (1), si ha che la velocità della corrente nel canale è proporzionale ad un coefficiente di resistenza. Nella formula originaria trovata da Chézy, questo coefficiente non era presente, la ragione di questo si trovava nel fatto che il nostro idraulico Francese trovò un sistema comparativo e non univico. In pratica era in grado di trovare la condotta di un canale, note le caratteristiche di un altro canale simile.

Il coefficiente si può calcolare utilizzando varie formule tra le quali:

(3) formula di Kutter;
(4) formula di Bazin;
(5) $C = (1/{~n}) R ^{1/6}$ formula di Manning;
(6) $C = ~k R ^{1/6}$ formula di Strickler;

Le formule dalla (3) alla (6) sono funzione di , ~gamma , e che rappresentano i coefficienti di scabrezza della superficie interna del canale. Di norma si trovano in tabelle e sono funzione del materiale utilizzato nel canale.

Considerazioni in progettazione. Quando si progetta un canale, per consentire un adeguato franco laterale (la parte delle pareti non bagnata) è bene non andare oltre i 3/4 come grado di riempimento. Inoltre, teniamo sempre nei limiti la velocità della corrente, mai inferiore a 0,6 m/s , per evitare depositi e per evitare che l’acqua ci impieghi molto tempo a percorrere la condotta; mai superiore a 2 - 5 m/s per evitare problemi con il materiale costruttivo.

Condotte in pressione. In funzione delle condizioni idrauliche, si possono avere due diverse consizioni di moto:

puramente torbolento, dove ho che gli sorzi turbolenti prevalgono su quelli viscosi;
misto o transizione, dove ho la prevalenza degli sforzi viscosi in prossimità delle pareti della condotta mentre prevalgono quelli torbolenti in prossimità dell’asse.

A seconda delle condizioni si possono utilizzare formule diverse, tra le quali:

(7) ;

(8) $1/ sqrt{lambda} = - 2 log [{{0,64} / Re ^ {0,91}} + epsilon / {{3,71}D}]$ ;

La (7) è detta formula di Colebrook e la (8) è la formula esplicita di Cozzo. Entrambe sono valide sia nella condizione 1 che nella condizione 2.

Sia nella (7) che nella (8) si ha che:
$lambda = {2~gDJ} / V^2$ indice di resistenza (adimensionale);
numero di Reynolds (adimensionale);
: densità dell’acqua ;
: viscosità dell’acqua $mu = {9,8} e^{-4} Pa s$ a 20 ° C;
: Diametro della tubazione;
: scabrezza della tubazione;
: velocità della corrente;
: cadente piezometrica;

Se è valida la condizione 1, si ha che è molto elevato, per cui si può dire che:

(9) ;

in questa condizione possiamo anche utilizzare la (1) calcolando con la (5) o con la (6).

Formule monomie. Oltre alle formule appena viste, ci sono una serie di forumle, dette monomie, del tipo:

(10) $J = ~beta {q^n} / D^m$ ;

dove i parametri beta , ed , sono funzioni della scabrezza e del moto. Dove:

(11) per tubi lisci;
(12) per tubi con moto secondo la 2;
(13) con moto puramente turbolento;

Conclusioni. Utilizzando una delle formule sopra riportate si può risalire ad una qualsiasi delle caretteristiche idrauliche note le altre. L’intuizione di Chézy è stata fondamentale per la scuola dell’idraulica moderna, è grazie alle sue considerazioni che oggi esistono grandi opere che trasportano l’acqua dai fiumi alle città.